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单位圆

单位圆指的是平面直角坐标系上,圆心为原点,半径为单位长度的圆

如果单位圆上的点 (x, y)位于第一象限,那么xy是斜边长度为1的直角三角形的两条边,根据勾股定理,xy满足方程:

由于对于所有的x来说x = (−x),并且断判戒所有这些点相对于x轴或者y轴的反射点也都位于单位圆上,因此单位圆上的所有点都满足上面的方程  。

在三角学中,单位圆通常是指欧几里德平面直角坐标系中圆心为 (0,0)、半径为 1 的圆犁犁狱阿。在教科书中,它常常出现在三角函数入门的那几页,并且与称为三角函数线的几条线辨劝殃段在一起,用于定义或解释实数的三角函数值。一般地,在复平面内,n 个 n 次的单位根所对应趋仔颈的点正。

1. 在复平面(即高斯平面)上,单位圆诱导了著名的欧拉公式和棣莫佛定理。 换句话说, 单位圆上的点表示模长为1的复数, 它诱导了复数的三角形式和指数形式之间的关系  。

2. 单位圆上有自然的群结构: 即弧度的加法群结构。 换句话说,就是模长为1的复数集合 上有一个自然的乘法结敬促戏构。

3. 单位圆诱导了几何反演变换 , 这和复变函数论的诸多结论密切相关。

4. 单位圆是最简单的非单连通 的拓扑空间之一, 常记为S^1. 它的基本群同构于整数群。

5. 单位圆同胚于射影直线, 是拓扑学中最基本的研究对象。这个同胚映射来自于从北极点作的球极投影。

6. 单位圆盘到自身的连续映射一定存在不动点。 这就是著名的布威劳尔不动点定理 。

7. 单位圆的群结构诱导了著名的指数映射 , 和微分几何中著名的陈类(也称陈示性类,因陈省身得棕厚拳探名)有着深远的联系。

1. 单位圆广泛应用于三角函数,对正弦函数,余弦函数,正切函数等的定义灶阀,函数图像的绘制有重要作用! 

2. 定义三角函数线

3. 单位圆应用于检测心率异常与否的一种图像标准。



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