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弧度制

弧度制,数学术语,指用弧长与半径之比度量对应圆心角角度的方式。用符号rad表示,读作弧度。等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。由于圆弧长短与圆半径之比,不因为圆的大小而改变,所以弧度数也是一个与圆的半径无关的量。角度以弧度给出时,通常不写弧度单位。另外一种常用的度量角的方法是角度制。弧度制的精髓就在于统一了度量弧与角的单位,从而大大简化了有关公式及运算,尤其在高等数学中,其优点就格外明显。

在研究弧度制发展时,我们必须谈到三角学和角,因为弧度制是依托劝棵乃它们二者存在的。依据三角学在数学研究中的地位,笔者认为三角学的发展可以分为萌芽阶段、传播阶段和确立阶段三个阶段。萌芽阶段从公元前约300年古巴比伦时期开始到公元640年希腊古代数学落幕为止,这段时期由于天文学的需要,三角学受到学者们的重视,它是天文学的一部分;传播阶段从公元640年希腊古代数学落幕后到15世纪文艺复兴开始前为止,这段时期三角学在不同地区传播,虽然其研究内容本质与萌芽阶段时相比没有区别,但它逐渐脱离天文学,成为了数学的一个分支嚷喇敬;确立阶段是从文艺复兴开始至今,在微积分等新兴数学力量的崛起下,三角学逐渐成为了其他数学分支中的一部分,而在此期间,弧度制成为了度量角的主要单位。

18世纪以前,人们一直是用线段的长来定义三角函数的。弧度定义的提出,是数学家Roger Cotes在1714年提出的,作为一种对角度的描述,使得对三角函数的研究大为简化。中学数学教科书中都把radian译作“弧度”。

1881年,学者哈尔斯特(G.B.Halsted)等用希腊字母ρ表示弧度的单位。1907年,学者包尔(G.N.Bauer)用戒姜盼棕r表示;1909年,学者霍尔(A.G.Hall)等又用R来表示,例如将单位弧度(角度制1°)写成(π/180)rad,人们习惯把弧度的单位省略。 

弧度制的基本思想是使圆半径与圆周长有同一度量单位,然后用对应的弧长与圆半径之比来度量角度,这一思想的雏型起源于印度。

半圆的弧长为π,此时的正弦值为0,记为sinπ= 0。同理,1/4圆周的弧长为π/2,此时的正弦为1,记为sin(π/2)=1。从而确立了用π、π/2分别表示半圆及1/4圆弧所对的中心角。其它的角也可依此类推。 

在任意一个角一边所对应的射线情况下,逆时针旋转所形成的角称为正角;顺时针转动所形成的角称为负角;射线未作任何旋转,仍留在原来位置,那么我们也把它看成一个角,叫做零角。这样,就可以将角由优角、劣角扩展到任意角。

如果用弧度制表示腊签耻,正角的弧度值是一个正值(正实数),负角的弧度值是一个项鸦拔负值(负实数),零角的弧度值是。  因此,弧度制能使角的集合与实数集合R存在一一对应关系:每一个角都对应唯一一个确定的实数。 

就是用角的大小来度量角的大小的方法。

在角度制中,我们把周角的1/360看作1度,那么,半周就是180度,一周就是360度。由于1度的大小协全和章不因为圆的大小而改变,所以角度大小是一个与圆的半径无关的量。

一个完整的圆的弧度是2π,所以:

2π rad = 360°,1 π rad = 180°,1°=π/180 rad ,1 rad = (180/π)°≈57.30°=57°18ˊ 

上式中,l为弧长,α为角度(弧度制),r为半径。

推导:由弧度定义

上式中,S为面积,α为角度(弧度制),r为半径。

推导:(角度制角度为n°)由

做圆周运动(不一定匀速率)的物体在单位时间内所走的弧度即为角速度。符号:ω,单位:弧度每秒(rad/s)。定义公式:

由角速度、线速度(速率)的定义公式及弧长公式可以推出角速度与线速度的关系式:

做周期运动(匀速圆周运动、简谐运动等)的物体完成一次周而复始的运动所需的时间即为周期。符号:T,单位:秒(s)。

匀速圆周运动中,周验悼期T与角速度ω有关,关系式为

弧度制之所以能成为当今数学主要的角的单位制度,主要原因有二:

(一)使进位制统一。在古巴比伦以及古希腊时期,数学家在研究天文学问题时,普遍习惯使用60进制对角进行度量,为了进位制的统一,也用60进制度量弦长和弧长。此时,角度制满足了这种需求。而随着历史的发展,10进制取代了60进制成为了度量长度的主要进位制。为了保持进位制的统一,自然地也将角的进位制换成10进制。弧度制满足了这一需求,而且可以与角度制进行一一对应的换算,与原有数学系统相容.这样,在查阅三角函数表时就可以看到用统一进位制表示的数,便于数与数之间的对比,提高解决问题的效率。

(二)简化微积分创立后公式的计算.弧度制大约直到18世纪才被提出来,它的提出是受到微积分等近代数学发展的推动的。在弧度制下,与三角函数有关的一些公式在形式上均比角度制下有很大的简化。正是因为这样的优越性,弧度制才逐渐被数学界普遍接受和广泛使用  。



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