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梅涅劳斯

Menelaus of Alexandria,公元70~140年,古希腊数学家,天文学家。青年时期求学于Alexandria,后定居于Rome。他第一个认识到曲面上的测地线(geodesics)可以类比于平面上的直线。

Menelaus' theorem的发现者不详。现存最早的记录是Menelaus的著作《Spherics》,该书不仅提出了平面版本的Menelaus' theorem,而且还将之推广到球面三角形。

梅涅劳斯定理

证明:

过点A作AG‖BC交DF的延长线于G

AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG

AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1

它的逆定理也成立:若有三点F、D、E分别在△ABC的边AB、BC、CA或其延长线上,且满足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1,则F、D、E三点共线。利用这个逆定理,可以判断三点共线。

另外,有很多人会觉得书写这个公式十分烦匪朵局琐,不看书根本记不住,下面从别人转来一些方法帮助书写

1.ABC为三个顶点,DEF为三个分点

(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1

(顶到分/分到顶)*(顶到分/分到顶)*(顶到重盛立分/分到顶)=1

2.为了说明问题,并给大家一个深刻印象,我们假定图1中的A、B、C、D、E、F是六个旅游景点,各景点之间有狱埋阀验公路相连。我们乘直升机飞到这些景点的上空,然后选择其中的任意一个景点降落。我们换乘汽车沿公路去每一个景点游玩,最后回到出发点,直升机就停在那里等待我们回去。

我们不必考虑怎样走路程最短,只要求必须“游历”了所有的景点。只“路过”而不停留观赏的景点,不能算是“游历”。

例如直升机降落在A点,我们从A点出发,“游历”了其它五个字母所代表的景点后,最终还要回到出发点A。

另外还有一个要求,就是同一直线上的三个景点,必须连定芝续游过之后,才能变更到其它直线上的景点。

从A点出发的旅游方案共有四种,下面逐一说明:

方案 ① ——从A经过B(不停留)到F(停留),再返回B(停留),再到D(停留),之后经过B(不停留)到C(停留),再到E(停留),最后从E经过C(不停留)回到出发点A。

按照这个方案,可以写出关系式:

(AF:FB)*(BD:DC)*(CE:EA)=1。

您知道应该怎样写“梅涅劳斯定理”的公誉乃弃道式了吧。

从A点出发的旅游方微户誉案还有:

方案 ② ——可以简记为:A→B→F→D→E→C→A,由此可写出以下公式:

(AB:BF)*(FD:DE)*(EC:CA)=1。从A出发还可以向“C”方向走,于是有:

方案 ③ —— A→C→E→D→F→B→A,由此可写出公式:

(AC:CE)*(ED:DF)*(FB:BA)=1。 从A出发还有最后一个方案:

方案 ④ —— A→E→C→D→B→F→A,由此写出公式:

(AE:EC)*(CD:DB)*(BF:FA)=1。

我们的直升机还可以选择在B、C、D、E、F任一点降落,因此就有了图1中的另外一些公式。

尽管图1中列出了许多公式,但仍不是全部公式,还可以写出一些来。

值得注意的是,有些公式中包含了四项因式,而不是“梅涅劳斯定理”中的三项。当直升机降落在B点时,就会有四项因式。而在C点和F点,既会有三项的公式,也会有四项的公式。公式为四项时,有的景点会游览了两次。

不知道梅涅劳斯当年是否也是这样想的,只是列出了一两个篮探笑典型的公式给我们看看。

是否可以说,我们对梅涅劳斯定理有了更深刻的了解呢。那些复杂的相除相乘的关系式,不会再写错或是记不住吧。


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