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梅涅劳斯定理

梅涅劳斯(Menelaus)定理(简称梅氏定理)最早出现在由古希腊数学家梅涅劳斯的著作《球面学》(Sphaerica)中。 

一条截线在三角形各边上确定出的六条线段,三条不连续线段的乘积等于剩下三条线段的乘积。  这一定理同样可以轻而易举地用初等几何或通过应用简单的三角比关系来证明. 梅涅劳斯把这一定理扩展到了球面三角形。

顶点到交点,交点回顶点。

当一条直线交

过点A作AG∥DF交BC的延长线于点G.则

两式相乘得

AF:FB =S△ADF:S△BDF…………(1)

BD:DC=S△BDF:S△CDF…………(2),

CE:EA=S△CDE:S△ADE=S△FEC:S△FEA=(S△CDE+S△FEC

):(S△ADE+S△FEA

=S△CDF:S△ADF………… (3)

(1)×(2)×(3)得

过三顶点作直线DEF的垂线AA‘,BB',CC',如图1:

充分性证明:

△ABC中,BC,CA,AB上的分点分别为D,E,F。

连接DF交CA于E',则由充分性可得,

又∵

∴有CE/EA=CE'/E'A,两点重合。符循肯所以

推论 在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点,又分比是λ=

注意与塞瓦定理相区分,那里是λμν=1) 

第一角元形式的梅涅劳斯定理如图2:若E,F,D

三点共线,则

即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积。

该形式的梅涅劳斯定理也很实用。

证明:可用面积法推出:第一角元形式的梅氏定理与顶分顶形式的梅主多想氏定理等价。

第二角元形式的梅涅劳斯定理

在平面上任取一点O,且EDF共和颈腊漏线,则

B、C重合)

使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算,其逆定理还可以用来解决三点共线、三线共点等问题的判定方法,是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理,具有重要的作用。梅涅劳斯定理的对偶定理是塞瓦定理。 

它的逆定理也成立:若有三点F、D、E分别在三角形的边AB、BC、CA或其延长线上,且满足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1,协虹骗则F、D、叠立采E三点共线。利用这个逆定理,可以判断三点共线。

若梅氏线完全在三角形外,那么该三角形仍然成立。



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